Varianza y Poker III. La verdadera dimensión de la varianza. Valores probables


Introducción.

En el primer artículo ya mencioné que la mayoría de jugadores subestiman enormemente la dimensión de la varianza en nuestro juego. Dejaremos para otro artículo el análisis de las causas que dan lugar a este erróneo entendimiento, y ahora nos centraremos en cómo podemos medir esa varianza y en cómo estimar la influencia que tiene sobre nuestros resultados. 

Para ello usaremos diferentes estadísticas que he añadido en un nuevo report para el Holdem Manager, y así podremos ver esos datos directamente sobre nuestra propia base de datos.

A continuación, entraremos a explicar algunas de estas stats.


Definiciones.

Diferencia entre winnings y EV, en valor absoluto (en bb o dólares)

|winnings-EV |

Este valor tiende a aumentar con el número de manos, y no depende del winrate. Lógicamente depende de nuestra desviación estándar (estilo de juego, stack, rivales, etc).

Este comportamiento es el que más cuesta asimilar por parte de la gran mayoría de jugadores, que están esperando que el hueco abierto en dólares entre las líneas se reduzca o se mantenga. La realidad es que tenderá a aumentar su valor absoluto aunque por supuesto, puede cambiar de sentido y oscilará libremente. Pero tenderá a ser cada vez mayor, como se explica en el artículo Varianza II.


Diferencial de winrate entre EV y winnings (bb/100)

|EV winrate - winrate|

Esta diferencia es la que tenderá a disminuir con el número de manos, es decir, que los winrates tenderán a igualarse. Aquí podremos ver que realmente nuestro EV y nuestras winnings se están acercando porcentualmente. 

Esta variable es independiente del valor del winrate.


Porcentual respecto al EV de la diferencia entre winnings y EV

|EV – winnings| / EV

Este cálculo no es casual, ya que se corresponde con la componente de “suerte” que hemos sufrido en el juego (en las situaciones de “All-in”*). En este caso el valor no sólo depende de las oscilaciones generadas por el azar, sino que también dependen de nuestro ritmo de ganancias.

Por tanto, este valor sí depende del winrate, y además disminuye con el número de manos.  La razón por la que este valor se hace cada vez más pequeño, es porque la diferencia entre el EV y las winnings crece a un ritmo más lento que el del propio EV. Es decir, ambos aumentan con el número de manos, pero mientras la diferencia entre EV y winnings lo hace a un ritmo de raíz de N (responde únicamente a las desviaciones aleatorias), el EV crece linealmente con N. Por eso este valor tiende a cero.

*como ya mencioné en el anterior artículo, el EV está sujeto también a varianza y por tanto no es una media precisa de nuestro winrate teórico. En este caso, este valor porcentual nos está midiendo únicamente la componente de suerte que hemos sufrido en las situaciones “All-in”. Las demás situaciones, quedan fuera de este valor.


CV (Coeficiente de Variación)

Este valor se corresponde con la componente de azar que cabe esperar en nuestros resultados (calculado para 1 sigma, es decir, que el 68% de las veces la influencia de la suerte será menor o igual a este valor). Podemos expresarlo como la desviación esperada en nuestro winrate por el efecto del azar dividida por el propio winrate. 


CV=   10*std dev/(winrate*raíz(N)),    donde la std dev y el winrate hay que introducirlos en bb/100

Cuanto mayor es la muestra, más pequeño será este valor y por tanto más peso tendrá nuestra estrategia en los resultados. Cuanto mayor sea el winrate, más pequeño será el CV. En este sentido, es importante remarcar que el winrate tiene más peso sobre el CV que el número de manos, ya que la dependencia con el número de manos sigue una función raíz.

Por ejemplo, un jugador con 2bb/100 de winrate necesita jugar 9 veces más manos que uno que gane a 6bb/100 para que el factor suerte tenga la misma influencia en el resultado (véase tabla 2). Éste es uno de los conceptos más importantes que debemos tener claro sobre la varianza, sobretodo los jugadores que tengan winrates bajos de cara a enfocar adecuadamente los eternos downswings que pueden sufrir.

Ahora podremos entender que la eterna pregunta “¿cuánto influye realmente la suerte en nuestro juego?” no tiene una respuesta única, ya que depende de tu estilo-modalidad de juego, del edge de tu estrategia (winrate) y del número de manos.

A pesar de que el número de manos tiene menos ponderación en la fórmula, en la práctica es lo único que podemos hacer crecer indefinidamente, y por eso acaba siendo la componente principal para reducir el efecto del azar.


Probabilidad de ser ganador 

Este valor depende obviamente del winrate. También depende del número de manos aunque en menor medida como podemos ver en la siguiente ecuación:

Probabilidad ganador (en sigmas) = Raiz (N) * (winrate-m) / 10* dev std ,  

donde m es el margen o valor del winrate que exigimos en el cálculo. Es decir, si queremos saber la probabilidad de ser ganadores a 2bb/100 tendríamos que restar esas 2bb/100 al winrate obtenido.

Si comparamos las dos ecuaciones anteriores, podremos observar que precisamente la probabilidad de ser ganador (winrate >0) es el valor inverso del CV. Como ejemplo,  para tener una probabilidad de ser ganador superior al 99% (sigma>2.31), necesitamos que el CV sea inferior al 43,5%.

Esta estadística podemos interpretarla de dos formas diferentes. Una de ellas es saber la probabilidad de que seamos ganadores realmente, tras los resultados obtenidos en esa muestra de manos. La otra interpretación consiste en estimar la probabilidad de que obtengamos resultados positivos en un número N de manos, una vez que sabemos que somos ganadores y conocemos nuestro winrate (tenemos una muestra muy grande que nos avala). Un ejemplo de la segunda aplicación, consiste en estimar la probabilidad de que acabemos en positivo en un periodo mensual. 


Nº de manos necesarias para que la varianza sea “despreciable” (CV= 10%)

Hay una pregunta muy recurrente en los foros:  “¿cuántos manos hacen falta para que la varianza sea despreciable?”. Bueno, esto depende de cómo queramos definir el término despreciable en este escenario, pero un valor razonable puede ser un 5% o un 10%. 

Este valor es muy sensible a las 3 componentes de las que depende. Su dependencia es cuadrática con todas ellas como podemos ver en la siguiente fórmula:

 N= (10* std dev/(winrate*CV))^2.

Esta ecuación es la culpable de que necesitemos una descomunal cantidad de manos para deshacernos del efecto del azar, sobre todo si tenemos un winrate bajo!


Nº de manos necesarias para confirmar que somos ganadores (95% y 99% de confianza)

Este valor no es más que el número de manos que necesitamos para que tengamos una probabilidad del 95% o 99%  de tener un winrate real positivo. Lógicamente es un valor que depende enormemente del winrate (dependencia cuadrática inversa), como podemos observar en las siguientes expresiones:

N = (10*2.31*std dev/ winrate)^2    (99% confianza)

N = (10*1.63*std dev/ winrate)^2    (95% confianza)




Valores probables o esperados para las diferentes stats.

En la tabla 1 vemos diferentes estadísticas y sus valores probables para un jugador con un winrate teórico de 4bb/100. Los valores probables están calculados para sigma=1 (es decir, el 68% de las veces los valores estarán dentro de estos límites). La std dev utilizada es la típica de un jugador midstack (std dev= 79 bb/100).



Nº Manos
Winnings (bb)
EV  teórico (bb)
Diferencial esperado valor abs.(bb)
Winrate (bb/100)
EV Winrate teórico (bb/100)
Diferencial de winrate (bb/100)
CV
50.000
3760
2000
1760,0
7,52
4
±3,52
46,86%
100.000
6490
4000
2490,0
6,49
4
±2,49
38,40%
200.000
11520
8000
3520,0
5,76
4
±1,76
30,59%
400.000
21000
16000
5000,0
5,25
4
±1,25
23,73%
800.000
39040
32000
7040,0
4,88
4
±0,88
18,05%
1,6 M
73920
64000
9920,0
4,62
4
±0,62
13,48%
3,2M
142080
128000
14080,0
4,44
4
±0,44
9,92%

En rojo he señalado lo que cabe esperar de la diferencia entre winnings y EV en bbs, mientras que en verde tenemos la diferencia entre winnings y Ev en bb/100. Se ve claramente cómo la priemra tiende a crecer, mientras que la segunda tiende a disminuir.  

En el resto de las stats podemos observar que el efecto del azar disminuye al aumentar el número de manos, y esto es necesariamente compatible con el hecho de que la diferencia entre winnings y EV en valor absoluto (bbs o dólares), tiende a aumentar infinitamente!

Nota 1:  Estas desviaciones son sobre el EV teórico; sobre el Ev del HM, las diferencias serán menores ya que éste tiende a estar más próximo a las winnings que el Ev teórico.

Nota 2: El winrate lo he escogido por encima del Ev por simplicidad pero no tiene por qué ser así mientras la muestra crece. Para el primer caso de 50000 manos, el winrate esperado sería 0,48 o 7,52, es decir, una diferencia de ±3.52 con respecto al EV de 4bb/100. Igualmente para valores con mayor muestra de manos. Las winnings y el EV pueden cruzarse libremente, pero la realidad probabilística es que su diferencia tenderá a crecer en valor absoluto.


Vayamos con la tabla 2, donde podemos ver que el winrate tiene una influencia enorme a la hora de reducir la componente de suerte presente en nuestros resultados.

Winrate  (bb/100)
CV esperado 100k manos
CV esperado 1M manos
Manos necesarias para CoV del 5%
Manos necesarias para CoV de 10%
Prob. ser ganador tras 100k manos
Nº manos confirma ser ganador (99% confianza)
Duracion downswing (10% prob)
0,25
997 %
315 %
3974 M
993 M
55,3%
52,6 M
16,3 M
0,5
498 %
158 %
993 M
248 M
59,7%
13,1 M
4,10 M
1
249 %
78,8 %
248 M
62,1 M
67,5%
3,3 M
1,02 M
2
125 %
39,4 %
62,1 M
15,5 M
79,7%
821 K
254 K
4
62,3 %
19,7 %
15,5 M
3,88 M
93,8%
205 K
63,6 K
8
31,1 %
9,91 %
3,88 M
0,97 M
99,9%
51 K
15,9 K


Desgraciadamente, el azar tiene una influencia brutal en nuestros resultados. Podemos observar que incluso para winrates de 4bb/100, el efecto de la varianza tiene un peso del 20% sobre nuestros resultados en una muestra de 1 millón de manos!   Y sólo el 68% de las veces su peso será menor o igual a ese 20% (así hemos definido el CV), así que debemos esperar mayor influencia aún del azar en un tercio de los casos.


Supongo que después de leer estos datos, a nadie le quedarán ganas de proponer el poker como deporte olímpico!

Por otro lado, tampoco saquemos la conclusión errónea de que sólo ganaremos dinero si el azar quiere. Pensad que incluso con un CV del 100%, de media estaremos ganando bastante dinero gracias a nuestra estrategia; simplemente la dispersión esperada por azar es de la misma dimensión que la ganancia que nos produce la estrategia. 


Todos los valores de las tablas han sido calculados a partir de una desviación estándar habitual de un jugador midstack, y por tanto el impacto de la varianza será más grande aún para los que jueguen deepstack. No voy a poner otra tabla para diferentes desviaciones estándar para no cargar el artículo, pero en el Holdem Manager podremos ver las diferentes stats calculadas para la std dev que cada uno tenga.



A continuación adjunto el enlace para el archivo “customststs.txt” que deberéis pegar en el directorio config de HM, junto con los 2 archivos de reports. Debido a la imposibilidad de programar nada decente en el HM, hay que usar un report o el otro en función de si estamos perdiendo (Varianza (-)) o de si estamos ganando (Varianza (+)). Si no lo hacemos,  obtendremos valores absurdos debido a los problemas que origina el cambio de signo en las ecuaciones.

Un saludo!
Daredevil.

14 comentarios:

  1. Lo primero felicitarte por el blog, el enfoque me parece de lo mejor que he visto por ahi.

    La distribución normal de resultados esperables es una gran desconocida para la mayoría de jugadores de poker.
    Analizando las variables y las fórmulas de que disponemos para hacer esa previsión de resultados llegué a la conclusión de que lo importante es la relación entre WR y Desviación estandar. Tiene la misma dispersión de resultados (obviamente en lo que interesa que es porcentaje sobre lo que debería ser por EV) una estrategia CAP muy TAG de WR 1.5 y DS 35 que una estrategia mas LAG de WR 2 y DS 46.

    Otra cosa que conviene recordar es que nuestros beneficios son por rakeback y por resultados. Si aplicamos los porcentajes de dispersión a la importancia relativa de los resultados de las apuestas por juego, la incidencia es menor. Es decir, si en 1 millon de manos para un WR 4 y DS 79 tenemos un 20%, realmente para un rakeback entorno a 2bb tendremos una parte variable del beneficio total de: 0.2*4/6=13.3%. Para juego CAP donde la relación de fijo vs total es generalmente mas del 66%, la incidencia del variable sería incluso menor.

    Bueno no me extiendo mas. Te sigo leyendo.

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  2. Magnificos los tres !ole tus webos!

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  3. No conocía tu blog, crack. Me lo ha pasado el señor beyoto. Tiene muy buena pinta. Luego lo leo!!

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  4. Muy interesantes los 3 articulos. Gracias por compartirlo.

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  5. Un poco de feedback: creo en la primera columna de la primera tabla de la entrada, el título debería ser "manos" en lugar de "winnings".

    Saludos y gracias por tu esfuerzo!

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  6. Gracias a todos por lo comentarios.

    Lo del rakeback, tienes mucha razón en que es importante para mitigar el efecto de la dispersión de los resultados. Sobretodo en niveles medios-bajos y su efecto relativo logicamente es mayor cuanto menor winrate tiene un jugador. La verdad es que no lo he incluido en el artículo por no complicar los números ya que el rakeback depende del stake, de las condiciones VIP,etc. y porque en la práctica la gente no visualiza las gráficas con el rakeback incluido.

    saludos!

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  7. Muy buen contenido, ojala lo hubiera leido antes, me hubiera ahorrado muchos cabreos. Gracias.

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  8. Hola daredevil

    podrias colgar el archivo de megaupload en otro sitio? ya sabes... como cerraron megaupload.

    por otra parte, me gustaria añadirte al skype.

    Mi nick en skype es: punki_nav

    Saludos

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  9. Saludos señor.

    Trataba de ponerme en contacto contigo, pero no encuentro un mail para hacerlo.
    ¿Te importaría contactarme a través de bidan@pokerviu.com?
    Tenemos un proyecto web entre manos y nos gustaría contar con tu colaboración.

    Un saludo y disculpa que haya utilizado los comentarios para contactar contigo.

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  10. Sip, estaria bien colgarlo en otro sitio que no sea megaupload (brutal el material) o sino mandarlo por email. Si tienes tiempo mi email es edurivas.6@gmail.com

    Soy corbein. Un saludo loco

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  11. Perdonad por no responder, pero ni me acordaba de que tenia un blog... Ya he cambiado el archivo de megaupload, espero que funcione.

    Saludos!

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  13. La mejor explicación sobre varianza, junto con todo lo que aprendo de póker aqui seré un gran ganador

    Maestros del Póker

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  14. explicacion asombrosa, si lo junto con todo lo que he aprendido aqui, sere un gran ganador en el póker

    Maestros del Póker

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