La realidad matemática.
El poker es un juego de habilidad en el que la suerte tiene un papel determinante en el corto plazo, pero su influencia disminuye progresivamente con el número de manos. Para entender adecuadamente la relación entre poker y varianza, hay tener claro que la suerte no tiende a compensarse, a lo que tiende es a ser más despreciable en el largo plazo (que suena parecido pero es muy diferente). Confundir estos conceptos es caer en la “falacia del jugador”, que es la causa principal que lleva a una comprensión errónea sobre los efectos de la varianza en el juego.
Es necesario entender que las distintas manos de poker que jugamos son sucesos independientes en cuanto a las cartas que se reparten en ellas; la suerte sufrida en el pasado no tiene influencia alguna sobre la suerte que sufriremos en el futuro.
Para comprender fácilmente cómo influirá el azar en nuestro juego, usaremos el ejemplo del juego de la moneda. Es muy fácil de visualizar y resulta muy sencillo hacer números en esta situación de “cara” o “cruz”.
El juego de la moneda.
Algunos pensarán que como la probabilidad de obtener cara o cruz es del 50%, si lanzamos muchas veces la moneda al final el número de caras tenderá a igualarse con el de cruces. Por supuesto que esto es totalmente falso. Lo que va a ocurrir es precisamente lo contrario, es decir, que la diferencia en valor absoluto entre caras y cruces crecerá cada vez más!
La teoría probabilística no dice que a la larga los valores se igualen. Lo que dice es que cuando el número de la muestra crece, el porcentaje de caras o cruces se acercará cada vez más al 50%. Y esto va a cumplirse porque cualquier diferencia de valor entre el número de caras y de cruces será despreciable porcentualmente aunque ésta sea muy grande!
La razón de que esto sea así, es que las desviaciones típicas fruto del azar crecen a un ritmo mucho menor que el número total de la muestra, y por eso acaban siendo despreciables aunque crezcan con el tiempo. En el ejemplo de la moneda, la diferencia entre caras y cruces aumentará irremediablemente pero lo hará en menor proporción que el número total de caras, por eso a la larga la diferencia entre caras y cruces resulta ser un término despreciable.
Así que la realidad matemática es que mientras se cumple que el porcentaje tiende al 50%, también se cumple que la diferencia entre caras y cruces es cada vez más grande. El ajuste es porcentual, no absoluto.
Formulando:
Porcentaje de “caras” = (0.5x +d)/x
donde x es el número de lanzamientos y d es la diferencia absoluta entre el valor teórico de caras y las obtenidas realmente.
donde x es el número de lanzamientos y d es la diferencia absoluta entre el valor teórico de caras y las obtenidas realmente.
Resulta que d es un término que se comporta como las desviaciones típicas, y éstas crecen como la raíz cuadrada del número de lanzamientos (función de Raíz(x)), y por eso este término se hace despreciable (aunque enormemente grande!) cuando la muestra tiende a infinito.
Consecuencias sobre la relación Winnings-EV.
En primer lugar, hay que mencionar que vamos a usar la línea del EV como una aproximación a nuestro Expected Value real, por simplicidad y porque es lo más próximo que tenemos a ese valor. En realidad el EV del HM tiene una varianza considerable, y esto afectaría a nivel cuantitativo sobre cualquier cálculo que vayamos a realizar, pero no tiene incidencia alguna sobre el estudio cualitativo que vamos a hacer aquí.
Aclarado esto, veamos que la relación entre las winnings y el EV es cualitativamente idéntica a la relación entre el número de caras y cruces.
Formulando de forma simple:
Winnings= EV + d
donde d es la diferencia obtenida entre ambas líneas, y al igual que en el juego de la moneda, ésta se comporta como una distribución aleatoria que responde a una función de Raíz(x) (donde x es el número de manos en este caso).
Por la misma razón que antes, la diferencia entre el EV y las winnings va a crecer indefinidamente, aunque por supuesto la proporción entre ellas se acercará cada vez más a 1. Dicho de otra forma, el EV tenderá a separarse cada vez más de las winnings en valor absoluto (dólares o bbs), mientras que tenderán a igualarse porcentualmente (bb/100).
¿Por qué muchos jugadores esperan que las winnings y el EV de sus gráficas se igualen?
Como acabamos de ver, la realidad matemática es que la diferencia entre ambas líneas va a hacerse despreciable con el tiempo. El error es suponer que esta diferencia, por el hecho de hacerse despreciable, tenderá a ser más pequeña en valor absoluto! Ya hemos visto que las líneas sólo se igualarán porcentualmente.
Otro motivo que lleva a esta falsa sensación de que las líneas de la gráfica han de igualarse, es la falacia del jugador. Aquí directamente el jugador piensa que como ha tenido una mala racha recientemente, ahora “le toca” una buena, o viceversa.
Ejemplo sobre el comportamiento esperado de Winnings-EV.
Si el Holdem Manager tuviera la opción de visualizar las líneas en bb/100, entonces todo el mundo vería que efectivamente las líneas convergen. Pero en las gráficas nuestras, donde los valores son absolutos (bb o dólares), las líneas divergen! (aunque oscilen y/o se crucen durante el proceso)
A continuación podemos ver un ejemplo sencillo de lo que podríamos esperar de la relación del EV con las winnings en función del número de manos:
Nº Manos | EV ($) | Winnings ($) | Diferencia absoluta ($) | Diferencia porcentual | EV bb/100 | bb/100 |
5.000 | 1.000 | 2.580 | ±1.580 | 158% | 5 | 12,9 |
50.000 | 10.000 | 5.000 | ±5.000 | 50% | 5 | 2,50 |
500.000 | 100.000 | 115.800 | ±15.800 | 16% | 5 | 5,79 |
5.000.000 | 1.000.000 | 950.000 | ±50.000 | 5% | 5 | 4,75 |
En la tabla se puede observar que a pesar de que la diferencia en dólares aumenta, la diferencia porcentual se hace cada vez más pequeña. Nótese que la tendencia es a aumentar la diferencia absoluta en dólares sin importar si es a favor o en contra. Las líneas pueden cortarse en multitud de ocasiones, pero la distancia absoluta entre ellas tenderá a ser cada vez mayor. Esto es poco intuitivo pero así son las cosas…
En resumen, lo que todo jugador debe esperar es que el peso o proporción de la varianza en sus resultados disminuya inexorablemente con el tiempo, pero simultáneamente las líneas tenderán a separarse si lo medimos en dólares!
En el próximo artículo hablaremos de las diferentes stats sobre varianza que podemos introducir en el HM, de forma que podamos visualizarlas directamente sobre nuestros reports.
Saludos!
