Varianza y Poker III. La verdadera dimensión de la varianza. Valores probables


Introducción.

En el primer artículo ya mencioné que la mayoría de jugadores subestiman enormemente la dimensión de la varianza en nuestro juego. Dejaremos para otro artículo el análisis de las causas que dan lugar a este erróneo entendimiento, y ahora nos centraremos en cómo podemos medir esa varianza y en cómo estimar la influencia que tiene sobre nuestros resultados. 

Para ello usaremos diferentes estadísticas que he añadido en un nuevo report para el Holdem Manager, y así podremos ver esos datos directamente sobre nuestra propia base de datos.

A continuación, entraremos a explicar algunas de estas stats.


Definiciones.

Diferencia entre winnings y EV, en valor absoluto (en bb o dólares)

|winnings-EV |

Este valor tiende a aumentar con el número de manos, y no depende del winrate. Lógicamente depende de nuestra desviación estándar (estilo de juego, stack, rivales, etc).

Este comportamiento es el que más cuesta asimilar por parte de la gran mayoría de jugadores, que están esperando que el hueco abierto en dólares entre las líneas se reduzca o se mantenga. La realidad es que tenderá a aumentar su valor absoluto aunque por supuesto, puede cambiar de sentido y oscilará libremente. Pero tenderá a ser cada vez mayor, como se explica en el artículo Varianza II.


Diferencial de winrate entre EV y winnings (bb/100)

|EV winrate - winrate|

Esta diferencia es la que tenderá a disminuir con el número de manos, es decir, que los winrates tenderán a igualarse. Aquí podremos ver que realmente nuestro EV y nuestras winnings se están acercando porcentualmente. 

Esta variable es independiente del valor del winrate.


Porcentual respecto al EV de la diferencia entre winnings y EV

|EV – winnings| / EV

Este cálculo no es casual, ya que se corresponde con la componente de “suerte” que hemos sufrido en el juego (en las situaciones de “All-in”*). En este caso el valor no sólo depende de las oscilaciones generadas por el azar, sino que también dependen de nuestro ritmo de ganancias.

Por tanto, este valor sí depende del winrate, y además disminuye con el número de manos.  La razón por la que este valor se hace cada vez más pequeño, es porque la diferencia entre el EV y las winnings crece a un ritmo más lento que el del propio EV. Es decir, ambos aumentan con el número de manos, pero mientras la diferencia entre EV y winnings lo hace a un ritmo de raíz de N (responde únicamente a las desviaciones aleatorias), el EV crece linealmente con N. Por eso este valor tiende a cero.

*como ya mencioné en el anterior artículo, el EV está sujeto también a varianza y por tanto no es una media precisa de nuestro winrate teórico. En este caso, este valor porcentual nos está midiendo únicamente la componente de suerte que hemos sufrido en las situaciones “All-in”. Las demás situaciones, quedan fuera de este valor.


CV (Coeficiente de Variación)

Este valor se corresponde con la componente de azar que cabe esperar en nuestros resultados (calculado para 1 sigma, es decir, que el 68% de las veces la influencia de la suerte será menor o igual a este valor). Podemos expresarlo como la desviación esperada en nuestro winrate por el efecto del azar dividida por el propio winrate. 


CV=   10*std dev/(winrate*raíz(N)),    donde la std dev y el winrate hay que introducirlos en bb/100

Cuanto mayor es la muestra, más pequeño será este valor y por tanto más peso tendrá nuestra estrategia en los resultados. Cuanto mayor sea el winrate, más pequeño será el CV. En este sentido, es importante remarcar que el winrate tiene más peso sobre el CV que el número de manos, ya que la dependencia con el número de manos sigue una función raíz.

Por ejemplo, un jugador con 2bb/100 de winrate necesita jugar 9 veces más manos que uno que gane a 6bb/100 para que el factor suerte tenga la misma influencia en el resultado (véase tabla 2). Éste es uno de los conceptos más importantes que debemos tener claro sobre la varianza, sobretodo los jugadores que tengan winrates bajos de cara a enfocar adecuadamente los eternos downswings que pueden sufrir.

Ahora podremos entender que la eterna pregunta “¿cuánto influye realmente la suerte en nuestro juego?” no tiene una respuesta única, ya que depende de tu estilo-modalidad de juego, del edge de tu estrategia (winrate) y del número de manos.

A pesar de que el número de manos tiene menos ponderación en la fórmula, en la práctica es lo único que podemos hacer crecer indefinidamente, y por eso acaba siendo la componente principal para reducir el efecto del azar.


Probabilidad de ser ganador 

Este valor depende obviamente del winrate. También depende del número de manos aunque en menor medida como podemos ver en la siguiente ecuación:

Probabilidad ganador (en sigmas) = Raiz (N) * (winrate-m) / 10* dev std ,  

donde m es el margen o valor del winrate que exigimos en el cálculo. Es decir, si queremos saber la probabilidad de ser ganadores a 2bb/100 tendríamos que restar esas 2bb/100 al winrate obtenido.

Si comparamos las dos ecuaciones anteriores, podremos observar que precisamente la probabilidad de ser ganador (winrate >0) es el valor inverso del CV. Como ejemplo,  para tener una probabilidad de ser ganador superior al 99% (sigma>2.31), necesitamos que el CV sea inferior al 43,5%.

Esta estadística podemos interpretarla de dos formas diferentes. Una de ellas es saber la probabilidad de que seamos ganadores realmente, tras los resultados obtenidos en esa muestra de manos. La otra interpretación consiste en estimar la probabilidad de que obtengamos resultados positivos en un número N de manos, una vez que sabemos que somos ganadores y conocemos nuestro winrate (tenemos una muestra muy grande que nos avala). Un ejemplo de la segunda aplicación, consiste en estimar la probabilidad de que acabemos en positivo en un periodo mensual. 


Nº de manos necesarias para que la varianza sea “despreciable” (CV= 10%)

Hay una pregunta muy recurrente en los foros:  “¿cuántos manos hacen falta para que la varianza sea despreciable?”. Bueno, esto depende de cómo queramos definir el término despreciable en este escenario, pero un valor razonable puede ser un 5% o un 10%. 

Este valor es muy sensible a las 3 componentes de las que depende. Su dependencia es cuadrática con todas ellas como podemos ver en la siguiente fórmula:

 N= (10* std dev/(winrate*CV))^2.

Esta ecuación es la culpable de que necesitemos una descomunal cantidad de manos para deshacernos del efecto del azar, sobre todo si tenemos un winrate bajo!


Nº de manos necesarias para confirmar que somos ganadores (95% y 99% de confianza)

Este valor no es más que el número de manos que necesitamos para que tengamos una probabilidad del 95% o 99%  de tener un winrate real positivo. Lógicamente es un valor que depende enormemente del winrate (dependencia cuadrática inversa), como podemos observar en las siguientes expresiones:

N = (10*2.31*std dev/ winrate)^2    (99% confianza)

N = (10*1.63*std dev/ winrate)^2    (95% confianza)




Valores probables o esperados para las diferentes stats.

En la tabla 1 vemos diferentes estadísticas y sus valores probables para un jugador con un winrate teórico de 4bb/100. Los valores probables están calculados para sigma=1 (es decir, el 68% de las veces los valores estarán dentro de estos límites). La std dev utilizada es la típica de un jugador midstack (std dev= 79 bb/100).



Nº Manos
Winnings (bb)
EV  teórico (bb)
Diferencial esperado valor abs.(bb)
Winrate (bb/100)
EV Winrate teórico (bb/100)
Diferencial de winrate (bb/100)
CV
50.000
3760
2000
1760,0
7,52
4
±3,52
46,86%
100.000
6490
4000
2490,0
6,49
4
±2,49
38,40%
200.000
11520
8000
3520,0
5,76
4
±1,76
30,59%
400.000
21000
16000
5000,0
5,25
4
±1,25
23,73%
800.000
39040
32000
7040,0
4,88
4
±0,88
18,05%
1,6 M
73920
64000
9920,0
4,62
4
±0,62
13,48%
3,2M
142080
128000
14080,0
4,44
4
±0,44
9,92%

En rojo he señalado lo que cabe esperar de la diferencia entre winnings y EV en bbs, mientras que en verde tenemos la diferencia entre winnings y Ev en bb/100. Se ve claramente cómo la priemra tiende a crecer, mientras que la segunda tiende a disminuir.  

En el resto de las stats podemos observar que el efecto del azar disminuye al aumentar el número de manos, y esto es necesariamente compatible con el hecho de que la diferencia entre winnings y EV en valor absoluto (bbs o dólares), tiende a aumentar infinitamente!

Nota 1:  Estas desviaciones son sobre el EV teórico; sobre el Ev del HM, las diferencias serán menores ya que éste tiende a estar más próximo a las winnings que el Ev teórico.

Nota 2: El winrate lo he escogido por encima del Ev por simplicidad pero no tiene por qué ser así mientras la muestra crece. Para el primer caso de 50000 manos, el winrate esperado sería 0,48 o 7,52, es decir, una diferencia de ±3.52 con respecto al EV de 4bb/100. Igualmente para valores con mayor muestra de manos. Las winnings y el EV pueden cruzarse libremente, pero la realidad probabilística es que su diferencia tenderá a crecer en valor absoluto.


Vayamos con la tabla 2, donde podemos ver que el winrate tiene una influencia enorme a la hora de reducir la componente de suerte presente en nuestros resultados.

Winrate  (bb/100)
CV esperado 100k manos
CV esperado 1M manos
Manos necesarias para CoV del 5%
Manos necesarias para CoV de 10%
Prob. ser ganador tras 100k manos
Nº manos confirma ser ganador (99% confianza)
Duracion downswing (10% prob)
0,25
997 %
315 %
3974 M
993 M
55,3%
52,6 M
16,3 M
0,5
498 %
158 %
993 M
248 M
59,7%
13,1 M
4,10 M
1
249 %
78,8 %
248 M
62,1 M
67,5%
3,3 M
1,02 M
2
125 %
39,4 %
62,1 M
15,5 M
79,7%
821 K
254 K
4
62,3 %
19,7 %
15,5 M
3,88 M
93,8%
205 K
63,6 K
8
31,1 %
9,91 %
3,88 M
0,97 M
99,9%
51 K
15,9 K


Desgraciadamente, el azar tiene una influencia brutal en nuestros resultados. Podemos observar que incluso para winrates de 4bb/100, el efecto de la varianza tiene un peso del 20% sobre nuestros resultados en una muestra de 1 millón de manos!   Y sólo el 68% de las veces su peso será menor o igual a ese 20% (así hemos definido el CV), así que debemos esperar mayor influencia aún del azar en un tercio de los casos.


Supongo que después de leer estos datos, a nadie le quedarán ganas de proponer el poker como deporte olímpico!

Por otro lado, tampoco saquemos la conclusión errónea de que sólo ganaremos dinero si el azar quiere. Pensad que incluso con un CV del 100%, de media estaremos ganando bastante dinero gracias a nuestra estrategia; simplemente la dispersión esperada por azar es de la misma dimensión que la ganancia que nos produce la estrategia. 


Todos los valores de las tablas han sido calculados a partir de una desviación estándar habitual de un jugador midstack, y por tanto el impacto de la varianza será más grande aún para los que jueguen deepstack. No voy a poner otra tabla para diferentes desviaciones estándar para no cargar el artículo, pero en el Holdem Manager podremos ver las diferentes stats calculadas para la std dev que cada uno tenga.



A continuación adjunto el enlace para el archivo “customststs.txt” que deberéis pegar en el directorio config de HM, junto con los 2 archivos de reports. Debido a la imposibilidad de programar nada decente en el HM, hay que usar un report o el otro en función de si estamos perdiendo (Varianza (-)) o de si estamos ganando (Varianza (+)). Si no lo hacemos,  obtendremos valores absurdos debido a los problemas que origina el cambio de signo en las ecuaciones.

Un saludo!
Daredevil.

VARIANZA Y POKER II. Relación entre Winnings y EV



La realidad matemática.

El poker es un juego de habilidad en el que la suerte tiene un papel determinante en el corto plazo, pero su influencia disminuye progresivamente con el número de manos. Para entender adecuadamente la relación entre poker y varianza, hay tener claro que la suerte no tiende a compensarse, a lo que tiende es a ser más despreciable en el largo plazo (que suena parecido pero es muy diferente). Confundir estos conceptos es caer en la “falacia del jugador”, que es la causa principal que lleva a una comprensión errónea  sobre los efectos de la varianza en el juego.

Es necesario entender que las distintas manos de poker que jugamos son sucesos independientes en cuanto a las cartas que se reparten en ellas; la suerte sufrida en el pasado no tiene influencia alguna sobre la suerte que sufriremos en el futuro.

Para comprender fácilmente cómo influirá el azar en nuestro juego, usaremos el ejemplo del juego de la moneda. Es muy fácil de visualizar y resulta muy sencillo hacer números en esta situación de “cara”  o “cruz”.


El juego de la moneda.

Algunos pensarán que como la probabilidad de obtener cara o cruz es del 50%, si lanzamos muchas veces la moneda al final el número de caras tenderá a igualarse con el de cruces. Por supuesto que esto es totalmente falso. Lo que va a ocurrir es precisamente lo contrario, es decir, que la diferencia en valor absoluto entre caras y cruces crecerá cada vez más!

La teoría probabilística no dice que a la larga los valores se igualen.  Lo que dice es que cuando el número de la muestra crece, el porcentaje de caras o cruces se acercará cada vez más al 50%. Y esto va a cumplirse porque cualquier diferencia de valor entre el número de caras y de cruces será despreciable porcentualmente aunque ésta sea muy grande!

La razón de que esto sea así, es que las desviaciones típicas fruto del azar crecen a un ritmo mucho menor que el número total de la muestra, y por eso acaban siendo despreciables aunque crezcan con el tiempo. En el ejemplo de la moneda, la diferencia entre caras y cruces aumentará irremediablemente pero lo hará en menor proporción que el número total de caras, por eso a la larga la diferencia entre caras y cruces resulta ser un término despreciable.

Así que la realidad matemática es que mientras se cumple que el porcentaje tiende al 50%, también se cumple que la diferencia entre caras y cruces es cada vez más grande. El ajuste es porcentual, no absoluto.

Formulando:
Porcentaje de “caras” =  (0.5x +d)/x
donde x  es el número de lanzamientos y d es la diferencia absoluta entre el valor teórico de caras y las obtenidas realmente.
Resulta que d  es un término que se comporta como las desviaciones típicas, y éstas crecen como la raíz cuadrada del número de lanzamientos (función de Raíz(x)), y por eso este término se hace despreciable (aunque enormemente grande!) cuando la muestra tiende a infinito.



Consecuencias sobre la relación Winnings-EV.


En primer lugar, hay que mencionar que vamos a usar la línea del EV como una aproximación a nuestro Expected Value real, por simplicidad y porque es lo más próximo que tenemos a ese valor. En realidad el EV del HM tiene una varianza considerable, y esto afectaría a nivel cuantitativo sobre cualquier cálculo que vayamos a realizar, pero no tiene incidencia alguna sobre el estudio cualitativo que vamos a hacer aquí.

Aclarado esto, veamos que la relación entre las winnings y el EV es cualitativamente idéntica a la relación entre el número de caras y cruces.

Formulando de forma simple:

Winnings= EV + d 
donde d es la diferencia obtenida entre ambas líneas, y al igual que en el juego de la moneda, ésta se comporta como una distribución aleatoria que responde a una función de Raíz(x)  (donde x es el número de manos en este caso).

Por la misma razón que antes, la diferencia entre el EV y las winnings va a crecer indefinidamente, aunque por supuesto la proporción entre ellas se acercará cada vez más a 1. Dicho de otra forma, el EV tenderá a separarse cada vez más de las winnings en valor absoluto (dólares o bbs), mientras que tenderán a igualarse porcentualmente (bb/100).



¿Por qué muchos jugadores esperan que las winnings y el EV de sus gráficas se igualen?


Como acabamos de ver, la realidad matemática es que la diferencia entre ambas líneas va a hacerse despreciable con el tiempo. El error es suponer que esta diferencia, por el hecho de hacerse despreciable, tenderá a ser más pequeña en valor absoluto!  Ya hemos visto que las líneas sólo se igualarán porcentualmente.

Otro motivo que lleva a esta falsa sensación de que las líneas de la gráfica han de igualarse, es la falacia del jugador. Aquí directamente el jugador piensa que como ha tenido una mala racha recientemente, ahora “le toca” una buena, o viceversa.


Ejemplo sobre el comportamiento esperado de Winnings-EV.

Si el Holdem Manager tuviera la opción de visualizar las líneas en bb/100, entonces todo el mundo vería que efectivamente las líneas convergen. Pero en las gráficas nuestras, donde los valores son absolutos (bb o dólares), las líneas divergen!  (aunque oscilen y/o se crucen durante el proceso)

A continuación podemos ver un ejemplo sencillo de lo que podríamos esperar de la relación del EV con las winnings en función del número de manos:


Nº Manos
EV ($)
Winnings ($)
Diferencia absoluta ($)
Diferencia porcentual
EV bb/100
bb/100
5.000
 1.000
2.580
±1.580
158%
5
12,9
50.000
10.000
5.000
±5.000
50%
5
2,50
500.000
100.000
115.800
±15.800
16%
5
5,79
5.000.000
1.000.000
950.000
±50.000
5%
5
4,75


En la tabla se puede observar que a pesar de que la diferencia en dólares aumenta, la diferencia porcentual se hace cada vez más pequeña. Nótese que la tendencia es a aumentar la diferencia absoluta en dólares sin importar si es a favor o en contra. Las líneas pueden cortarse en multitud de ocasiones, pero la distancia absoluta entre ellas tenderá a ser cada vez mayor. Esto es poco intuitivo pero así son las cosas…
En resumen, lo que todo jugador debe esperar es que el peso o proporción de la varianza en sus resultados disminuya inexorablemente con el tiempo, pero simultáneamente las líneas tenderán a separarse si lo medimos en dólares!

En el próximo artículo hablaremos de las diferentes stats sobre varianza que podemos introducir en el HM, de forma que podamos visualizarlas directamente sobre nuestros reports.

Saludos!